Catégories analogues d'accumulations discrètes

Combien de fûts de vin peut-on empiler pour former une pyramide tronquée dont les dimensions sont données ? Comment représenter la suite de nombres impairs 1, 3, 5, 7,… en lien avec leurs sommes partielles 1, 4, 9, 16, … ? Pour répondre à de telles questions, à partir du XIe siècle, une véritable discipline mathématique, connue sous le nom d’« accumulations discrètes », se forma en Chine. Elle se nourrit d’abord de la géométrie et de l’algèbre avant de prendre une tournure proprement arithmétique et indépendante des neuf thèmes établis dans le canon des mathématiques chinoises depuis le premier siècle. L’auteur des Catégories analogues d’accumulations discrètes (1867), Li Shanlan, se prévaut d’être le premier à avoir théorisé le domaine. Mais quelle forme pourrait prendre une théorie mathématique en l’absence de tout discours démonstratif ? La lecture des Catégories analogues montre en effet que l’organisation des ensembles d’objets mathématiques traités en quatre livres suit une logique strictement déductive combinée à une argumentation, tout aussi strictement, inductive. C’est sur la base d’une série de triangles arithmétiques, en commençant par celui connu en Occident sous le nom de Triangle de Pascal (déjà présent en Chine depuis au moins le XIIe siècle), que Li Shanlan établit un grand nombre de « formules », dont la fameuse identité combinatoire qui porte son nom. Font partie de sa boîte à outils le langage naturel avant tout, les tableaux de baguettes à calcul, des diagrammes représentant les suites des nombres et, implicitement, sa familiarité avec les Éléments d’Euclide.